Question

在平面上有一个27×27的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81枚棋子，它们被罢成一个9×9的正方形．按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这格棋子取出来．问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？

Answer 1

分析：分析游戏规则“每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这格棋子取出来”，可知：每走一步，走动棋子格、与它相邻被取出的棋子格、落子的空格，这三个格内棋子的状态，有或无，同时发生变化．因此可将整个棋盘按水平和竖直方向用三种颜色染色，开始时，“棋盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形”，知三种颜色格子中棋子数是相同的（9÷9÷3=27），棋子数的奇偶性相同．由于每走一步，三种颜色格子里棋子数的奇偶性同时改变，因此三种颜色棋子数的奇偶性始终相同．要使“棋盘上最后恰好剩下一枚棋子”，三种颜色的格子里棋子数2种颜色为0，1种颜色为1，两偶一奇，按上述走法显然是不可能的．所以，不存在这样一种走法，
使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子．

解答：解：如图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘分成了三个部分．

按照游戏规则，每走一步，有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个，而第三种颜色的棋子数增加了一个．
这表明每走一步，每个部分的棋子的奇偶性要发生改变．
 因为一开始时，81枚棋子摆成一个9×9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，从而每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是相同的．
如果走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另一部分上的棋子数为奇数．
所以这种结果是不可能出现的．

点评：本题为一个典型的染色问题，通过将图形染色，能比较直观的将题中要素体现出来，从而有助于问题的解答．