Question

将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上．应如何填？

Answer 1

考点：凑数谜

专题：填运算符号、字母等的竖式与横式问题

分析：为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如右图（1）．
由条件得出以下四个算式：a+b+c=14 ①c+d+e=14 ②e+f+g=14 ③a+h+g=14 ④
由①+③，得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28，
d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，
由②+④，同样可得b+f=8，
又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8．
又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法．
又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5．
a，c，e，g可取到1，4，7，8
若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行．
若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行．
若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行．
若g=1，则a=8，c=4，e=7．问题得以解决．

解答： 解：如右图（1）a+b+c=14 ①c+d+e=14 ②e+f+g=14 ③a+h+g=14 ④
由①+③，得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28，
d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，
由②+④，同样可得b+f=8，
又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8．
又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法．
又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5．
a，c，e，g可取到1，4，7，8
若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行．
若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行．
若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行．
若g=1，则a=8，c=4，e=7．
故答案为：

点评：封闭型数阵，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口．