Question

6．在一个神话敌事中，有一只小兔住在一个周长为1千米的圆形神湖旁，A、B两点把这个神湖分成两部分（如图），已知小兔从B点出发，沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳$\frac{3}{8}$千米休息一次，如果跳到A点正好休息，那么就会经过特别通道AB滑到B点，从B点继续跳．它每经过一次特别通道，神湖半径就扩大一倍，现已知小兔共休息了1000次，这时神湖周长是多少千米？（AB为圆的直径）

Answer 1

分析 把周长为1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息时正好在A点，于是经过特别通道到B点，此时神湖周长变成2千米；我们再把新的神湖分成16段，现在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A点休息…如此继续下去，休息到16次、32次、64次、128次…小兔子才在A点休息，神湖周长是2千米、4千米、8千米…4+8+16+32+64+128+256=508＜10004+8+16+32+64+128+256+512＞1000，所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A点，据此即可求出此时神湖的周长．

解答 解：如图


把周长为1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息时正好在A点
休息后小兔子经过特别通道到B点，此时神湖周长变成2千米
再把新的神湖分成16段，现在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A点休息
…
即兔子跳了4次、8次、16次、32次、64次、128次…
神湖周长是2千米、4千米、8千米、16千米…
因为：4+8+16+32+64+128+256=508＜1000
4+8+16+32+64+128+256+512＞1000
所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A点，此时神湖周长是128千米
答：所以休息1000次后，神湖周长是128千米．

点评 此题较难．关键是明白小兔子休息1000次后，有多少次在A点，因为只有在A点休息后，神湖周长才扩大一倍．