Question

如图所示，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体．这三个长方体的表面积比是3：4：5时．用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比是多少？

Answer 1

分析：设正方体的棱长为a，三个长方体的高分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3=a．由题意可得：
2（ah1+ah1+aa）：2（ah2+ah2+aa）：2（ah3+ah3+aa）=3：4：5，则进行整合得出：（2h1+a）：（2h2+a）：（2h3+a）=3：4：5，得出2h1+a=3，2h2+a=4，2h3+a=5，解方程组分别求出a、h1、h2、h3，求出h1、h2和h3的比，因为底面积相等，高的比即体积的比．

解答：解：设正方体的棱长为a，三个长方体的高分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3=a．由题意可得：
2（ah1+ah1+aa）：2（ah2+ah2+aa）：2（ah3+ah3+aa）=3：4：5，则进行整合得出：（2h1+a）：（2h2+a）：（2h3+a）=3：4：5，
（ah1+ah1+aa）：（ah2+ah2+aa）：（ah3+ah3+aa）=3：4：5，
a（2h1+a）：a（2h2+a）：a（2h3+a）=3：4：5，
则：2h1+a：2h2+a：2h3+a=3：4：5，
假设2h1+a=3，则：2h2+a=4，2h3+a=5，
即：h1=

3-a

2

，h2=

4-a

2

，h3=

5-a

2

，因为h1+h2+h3=a，所以：

3-a

2

+

4-a

2

+

5-a

2

=a，则：a=2.4，
则h1=0.3，h2=0.8，h3=1.3，
高的比为：0.3：0.8：1.3=3：8：13，因为底面积相等，高的比即体积的比，所以体积的比是：3：8：13；
答：这三个长方体的体积比是3：8：13．

点评：解答此题的关键：先设出正方体的棱长，然后设出切开后的长方体的高，然后根据表面积之比列出比，进而假设，求出三块长方体高的比，进而根据底面积相等，高的比即体积比，得出结论．