Question

将从1到30的自然数分成两组，使得第一组中所有数的乘积A能被第二组中所有数的乘积B整除．则

A

B

的最小值是多少？

Answer 1

考点：数字分组,整除性质

专题：整除性问题

分析：首先把大数分解成多个小数的乘积，1-30内就有了很多相同的小的整数，要求两组数的商的最小值，说明两组数的乘积很接近，把相同的小数均分到两组里面，剩下的单个小数放到其中一个小组中，求出

A

B

的最小值即可．

解答： 解：1到30的自然数中质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，
合数：4=2×2，6=2×3，8=2×2×2，9=3×3，10=2×5，12=2×2×3，14=2×7，15=3×5，16=2×2×2×2，18=2×3×3，
20=2×2×5，21=3×7，22=2×11，24=2×2×2×3，25=5×5，26=2×13，27=3×3×3，28=2×2×7，30=2×3×5，
把所有的因数整理一下，一共是：26个2，14个3，7个5，4个7，2个11，2个13，1个17，1个19，1个23，1个29，
从1到30的自然数分成两组：A=5×8×17×18×19×20×21×22×23×24×25×26×27×28×29，B=1×2×3×4×6×7×9×10×11×12×13×14×15×16×30，
则

A

B

=（5×8×17×18×19×20×21×22×23×24×25×26×27×28×29）÷（1×2×3×4×6×7×9×10×11×12×13×14×15×16×30）=1077205．
答：

A

B

的最小值是1077205．

点评：解答此题的关键是要明确：要求两组数的商的最小值，说明两组数的乘积很接近，把相同的小数均分到两组里面，然后把剩下的那个放到其中一个组中即可．