Question

自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S₁，S₂，S₃，S₄，S₅，S₆，若S₅-S₆=2，S₁-S₂=1，那么S₄-S₃=

 

．

Answer 1

考点：圆与组合图形

专题：平面图形的认识与计算

分析：解：如图，，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP²-BP²=AF²-BF²，BP²-CP²=BD²-CD²，CP²-AP²=CE²-EA²，所以AF²+BD²+CE²=BF²+CD²+EA²；然后根据圆的面积公式，可得S₁+S₃+S₅=S₂+S₄+S₆，所以S₄-S₃=（S₅-S₆）+（S₁-S₂）=2+1=3，据此解答即可．

解答： 解：如图，，连接AP、BP、CP，
根据勾股定理，可得AP²=AF²+FP²…①，BP²=BF²+FP²…②，
①-②，可得AP²-BP²=AF²-BF²…③，
同理，可得BP²-CP²=BD²-CD²…④，
同理，可得CP²-AP²=CE²-EA²…⑤，
③+④+⑤，可得AF²+BD²+CE²=BF²+CD²+EA²，
所以

π

4

×（AF²+BD²+CE²）=

π

4

×（BF²+CD²+EA²），
因此S₁+S₃+S₅=S₂+S₄+S₆，
所以S₄-S₃
=（S₅-S₆）+（S₁-S₂）
=2+1
=3
故答案为：3．

点评：此题主要考查了圆与组合图形问题，解答此题的关键是熟练掌握圆的面积公式和勾股定理．