Question

5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理,合数分解质因数

专题：数的整除,整除性问题

分析：首先把5400分解质因数，进一步利用约数个数的计算方法，注意分析含有质因数的约数个数，相乘得出答案即可．

解答： 解：5400=2³×3³×5²，
约数个数为（3+1）×（3+1）×（2+1）=48个，
其中含有2¹，2²，2³的约数有（3+1）×（2+1）=12个，
所以含有2的因子有（1+2+3）×12=72个；
其中含有3¹，3²，3³的约数有（3+1）×（2+1）=12个，
所以含有3的因子有（1+2+3）×12=72个；
其中含有5¹，5²的约数有（3+1）×（3+1）=16个，
所以含有5的因子有（1+2）×16=48个；
所以所有约数乘积为2⁷²×3⁷²×5⁴⁸．

点评：此题主要利用约数个数的计算方法：一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数（次数）加1后所得的乘积．