Question

5．计算：$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}}{1×2}+\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{2×3}+\frac{{3}^{2}+{4}^{2}}{3×4}+…+\frac{200{0}^{2}+200{1}^{2}}{2000×2001}$=4000$\frac{2000}{2001}$．

Answer 1

分析 根据$\frac{[n^2+（n+1）^2]}{n（n+1）}$=$\frac{n^2}{n（n+1）}$+$\frac{（n+1）^2}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$+$\frac{n+1}{n}$=$\frac{（n+1）-1}{n+1}$+（1+$\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n+1}$+1+$\frac{1}{n}$=2+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）；把原式化为2+（1-$\frac{1}{2}$）+2+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+2+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+2+（$\frac{1}{2000}$-$\frac{1}{2001}$），这样变成2000个2与1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2000}$-$\frac{1}{2001}$，再计算就比较简单了．

解答 解：$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}}{1×2}+\frac{{2}^{2}+{3}^{2}}{2×3}+\frac{{3}^{2}+{4}^{2}}{3×4}+…+\frac{200{0}^{2}+200{1}^{2}}{2000×2001}$
=2+（1-$\frac{1}{2}$）+2+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+2+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+2+（$\frac{1}{2000}$-$\frac{1}{2001}$）
=2×2000+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2000}$-$\frac{1}{2001}$）
=4000+（1-$\frac{1}{2001}$）
=4000+$\frac{2000}{2001}$
=4000$\frac{2000}{2001}$．
故答案为：4000$\frac{2000}{2001}$．

点评 本题关键是根据$\frac{[n^2+（n+1）^2]}{n（n+1）}$=2+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），把原式进行转化，然后再计算．