Question

有一个三角形 ，第一次连接这个三角形三条边的中点得到，第2次连接中间一个三角形三条边的中点得到，…依此类推．
（1）请你算出每次操作后三角形的个数填入下表．

操作次数	最初	第1次	第2次	第3次
三角形的个数	1	5

（2）照这样操作10次，一共有多少个三角形？
（3）要有101个三角形，应该照这样操作多少次？

Answer 1

解：（1）根据题干中图形可以数出第2次操作后的图形中，三角形的个数是9个，由此可以得出每增加1次操作，图形中就多出4个三角形，
即第二次操作后图形中的三角形的个数就是：1+2×4=9（个）；
所以第三次操作后图形中的三角形的个数就是：1+3×4=13（个）；由此可以完成下表：

（2）由（1）中的推理计算可得：当进行n次操作后图形中三角形的个数为1+4n个，
所以当n=10时，1+4×10=41（个）；
答：照这样操作10次，一共有41个三角形．
（3）根据（2）中推理得出的结论可得：
设应这样操作n次，则1+4n=101，
4n=100，
n=25；
答：要有101个三角形，应该照这样操作25次．
分析：（1）首先根据所给的图形，正确数出已经给出的图形包含的三角形的个数，分别是：1，5，9；
（2）根据（1）中数的过程中，就能够发现在前一个图的基础上依次多4个．
点评：此类题找规律的时候，主要应发现前后图形中个数之间的变化和联系．