Question

在1至100的自然数中取出2个不同的自然数，使其和大于100．共有

 

种不同的取法．

Answer 1

考点：筛选与枚举

专题：传统应用题专题

分析：解：第一个数是1，第二个数只能是100，
第一个数是2，第二个数可以是99，100，
第一个数是3，第二个数可以是98，99，100，
…
第一个数是51，第二个数可以是50，52，53…98，99，100．
即：1+100，2+100，3+100，4+100，…，99+100，99种；
2+99，3+99，4+99，5+99，…，98+99，97种；
3+98，4+98，5+98，6+98，…，97+98，95种；
4+97，5+97，6+97，7+97，…，96+97，93种；
…
48+53，49+53，50+53，51+53，52+53，5种；
49+52，50+52，51+52，3种；
50+51，1种；
根据公式，等差数列的和为：（首项+末项）×项数÷2，即可得出．

解答： 解：1+100，2+100，3+100，4+100，…，99+100，99种；
2+99，3+99，4+99，5+99，…，98+99，97种；
3+98，4+98，5+98，6+98，…，97+98，95种；
4+97，5+97，6+97，7+97，…，96+97，93种；
…
48+53，49+53，50+53，51+53，52+53，5种；
49+52，50+52，51+52，3种；
50+51，1种；
因此：（97+1）×50÷2=98×50÷2=2500（种）．
故答案为：2500．

点评：此题也可这样解答：
第一个数取1，第二个数有1种取法（100）；
第一个数取2，第二个数有2种取法（100，99）；
第一个数取3，第二个数有3种取法（100，99，98）；
…
第一个数取50，第二个数有50种取法（51-100）；
第一个数取51，第二个数有49种取法（52-100）（50已经在前面考虑过，51自身不能重复）；
第一个数取52，第二个数有48种取法（53-100）（49-51已经在前面考虑过，52自身不能重复）；
第一个数取99，第二个数有1种取法（100）；
所以，把以上的可能加起来应该是，1+2+3+…+50+49+48+…+1=（1+50）÷2×50×2-50=2500．