Question

有一串分数：

1

1

；

1

2

、

2

2

、

1

2

；

1

3

、

2

3

、

3

3

、

2

3

、

1

3

；

1

4

、

2

4

、

3

4

、

4

4

、

3

4

、

2

4

、

1

4

；…在这串分数中，

10

10

是第

91

个分数，第2012个分数是

14

45

．

Answer 1

分析：（1）分母是1的分数有1个，分子是1；
分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；
分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n-1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是9的分数一共有多少个；
分子是自然数，先从1增加，到分子变为10共有10个，分别求出后相加即可．
（2）根据等差数列前n项的和n（n+1）÷2，先求出和为2012是此串分数中的第几个分数，进而求出第2012个分数是几．

解答：解：（1）分母是9的分数一共有；
2×9-1=17（个）；
从分母是1的分数到分母是9的分数一共：
1+3+5+7+…+17，
=（1+17）×9÷2，
=18×9÷2，
=81（个）；
当分母是10时，分子先从1增加，到分子变为10共有10个，所以总共有81+10=91（个）；
（2）
1+3+5+7+…+2n-1=2012-76，
（1+2n-1）n÷2=2012-76，
解得：n=44，
按此规律可以计算出第2012个分数是

14

45

．
故答案为：91，

14

45

．

点评：（1）本题需要找出分数个数的规律，还要找出分子的变化规律，每个真分数都出现两次，先求前9个有同样规律的，然后再上10即可．
（2）关键是根据给出的数列，归纳总结出规律，再根据规律解决问题．