Question

求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b；　（2）

ab

a+b

=169；　（3）a+b是平方数．

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：数性的判断专题

分析：先由条件（2），得：

ab

169

=a+b，即ab=169a+169b，ab-169a=169b，a=

169b

b-169

，a+b=

169b

b-169

+b=

b2

b-169

，再由条件（3），解决问题．

解答： 解：由

ab

a+b

=169，可得：

ab

169

=a+b，即ab=169a+169b，ab-169a=169b，
a=

169b

b-169

，a+b=

169b

b-169

+b=

b2

b-169

，
因为a+b是平方数，所以b-169是平方数，设b-169=n²，b=n²+169；
同理可得ab-169b=169a，b=

169a

a-169

，a+b=

169a

a-169

+a=

a2

a-169

，a-169是平方数，
设a-169=m²，a=m²+169；于是，a+b=m²+2×169+n²．
2×169=2×13×13，或2×169=2×1×169，或2×169=2×169×1，
因为a＞b，所以m＞n，a+b是平方数，
所以，m=169，n=1，a=m²+169=169²+169=169×170，b=n²+169=1²+169=170．

点评：在解答时，应注意三个条件之间的联系，运用设数法，巧妙解答．