Question

课本中，把长与宽之比为

2

的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．
请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．
（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=

2

，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．

Answer 1

分析：（1）根据

AB

AF

=

AB

1 2 BC

=2

AB

BC

=

2

2

=

2

，得出矩形纸片ABEF也是标准纸．
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出

AD

AB

=

2 a

a

=

2

，即可得出答案．
（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．

解答：解：（1）是标准纸，理由如下：
因为矩形ABCD是标准纸，
所以

BC

AB

=

2

，
由对开的含义知：AF=

1

2

BC，
所以据

AB

AF

=

AB

1 2 BC

=2

AB

BC

=

2

2

=

2

，
所以矩形纸片ABEF也是标准纸．
（2）是标准纸，理由如下：
设AB=CD=a，由图形折叠可知：DN=CD=DG=a，
DG⊥EM，
因为由图形折叠可知：△ABE≌△AFE，
所以∠DAE=

1

2

∠BAD=45°，
所以△ADG是等腰直角三角形，
所以在Rt△ADG中，AD=

AG2+DG2

=

2

a，
所以

AD

AB

=

2 a

a

=

2

，
所以矩形纸片ABCD是一张标准纸．
（3）对开次数：
第一次，周长为：2（1+

1

2

2

）=2+

2

，
第二次，周长为：2（

1

2

+

1

2

2

）=1+

2

，
第三次，周长为：2（

1

2

+

1

4

2

）=1+

2

2

，
第四次，周长为：2（

1

4

+

1

4

2

）=

1+ 2

2

，
第五次，周长为：2（

1

4

+

1

8

2

）=

2+ 2

4

，
第六次，周长为：2（

1

8

+

1

8

2

）=

1+ 2

4

，
…
所以第5次对开后所得标准纸的周长是：

2+ 2

4

，
第2012次对开后所得标准纸的周长为：

1+ 2

21005

．

点评：此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键．