Question

拓展训练
三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？

Answer 1

考点：组合图形的计数

专题：几何的计算与计数专题

分析：因为此题点数较多，这就要求我们寻找规律，可以通过分情况：（1）若点P_n在某个小三角形的内部，如图1-73（a），（2）若点P_n在某两个小三角形公共边上，如图1-73（b）．来寻找规律求解．

解答： 解：设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成a_n-1个小三角形，我们考虑新增加一个点P_n之后的情况：
（1）若点P_n在某个小三角形的内部，如图（a），则原小三角形的三个顶点连同P_n将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；
（2）若点P_n在某两个小三角形公共边上，如图（b）．则这两个小三角形的顶点连同点P_n将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．
所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为a_n=a_n-1+2．
易知a₀=1，于是a₁=a₀+2 a₂=a₁+2 …a_n=a_n-1+2
将上面这些式子相加，得a_n=2n+1．
所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×（1999+1=3999个小三角形．

点评：本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关键．