Question

七位数3□□75xy中末两位数是多少时，有两个不同的七位数3□□75xy能被99整除？

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：假设七位数3□□75xy可以被99整除，则它是9和11的倍数，3+□+□+7+5+x+y是9的倍数，把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么这个数就一定能被11整除，所以（3+□+5+y）-（□a+7+x）是11的倍数，即2□+x+y+15是9的倍数且-□+□-x+y+1是11的倍数，经检验，3007521和3997521都能被99整除，当七位数3□□75xy中末两位数是21是，有两个不同的七位数3□□75xy能被99整除．

解答： 解：假设七位数3□□75xy可以被99整除，则它是9和11的倍数，3+□+□+7+5+x+y=15+2□+x+y是9的倍数，（3+□+5+y）-（□a+7+x）=y-x+1是11的倍数，即2□+x+y+15是9的倍数且-x+y+1是11的倍数，
因为个位数都大于或等于0，小于或等于9，
所以15≤15+a+b+x+y≤51，-8≤y-x+1≤10，0≤□+x≤18，
所以y-x+1只能是0，即y=x-1    （1）
所以15+2□+x+y=14+2（□+x）
14+2（□+x）=18、27、36、45  （2）
即□+2=2、

13

2

（舍去）、11、

15

2

（舍去）
综合（1）（2）对x、y、□的取值进行列表让他所示：

所以只有当x=2，y=1时，□有两个值0和9．

点评：此题考查了能被9和11整数数的特征．