Question

15．（1）一个圆的外切正方形的面积是它的内接正方形的2倍．
（2）一个正方形的外接圆的面积是它的内切圆的2倍．

Answer 1

分析 （1）设圆的半径为r，则内接正方形的边长为$\sqrt{2}$r，其面积是（$\sqrt{2}$r）²=2r²，外切圆的边长为2r，其面积为（2r）²=4r²，用外切正方形面积除以内接正方形面积；
（2）设正方形的边长为1，则内圆的半径为$\frac{1}{2}$，外圆的半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此即可求出内、外圆的面积，用外圆面积除以内圆面积；

解答 解：（1）设圆的半径为r．
则内接正方形的边长为$\sqrt{2}$r，
其面积是（$\sqrt{2}$r）²=2r²，
外切圆的边长为2r，
其面积为（2r）²=4r²，
4r²÷2r²=2．
答：一个圆的外切正方形的面积是它的内接正方形的2倍．

（2）解：设正方形的边长为1
则内圆的半径为$\frac{1}{2}$，面积为π×（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{π}{4}$
外圆的半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，面积为π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{π}{2}$
$\frac{π}{2}$÷$\frac{π}{4}$=2
答：一个正方形的外接圆的面积是它的内接圆的2倍．
故答案为：2、2．

点评 （1）此题单独求两个正方形的面积不好求，这两个正方形都与这个圆有关系，巧妙地利用这两个正方形边长与圆半径的关系，求出含有这个圆半径的两个正方形的面积，从而使问题得到解决．
（2）此题单独求两个圆的面积不好求，这两个圆都与这个正方形有关系，可设这个正方形的边长为1，求出这两个圆的面积，进而求出外接圆的面积是它的内接圆的多少倍．