Question

【题目】如图，已知长方体 ， ，直线与平面所成角为， 垂直于点， 为的中点.

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）线段上是否存在点,使得二面角的余弦值为？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点，为的中点.

【解析】试题分析：（1）先利用直线与平面所成角为，求得, 以为正交基底建立平面直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（2）令，则，求出面的一个法向量，利用（1）中平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：由, 得 与面所成角为， ,由,

（1）以为正交基底建立平面直角坐标系，则

， ，设面的一个法向量为

答： 与面所成角的正弦值为

（2）令，则

设面的一个法向量为，

化简得

答：存在点，为的中点.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角与二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.