Question

将（1+2+3+…+n）+2002表示为n（n＞1）个连续自然数的和，共有

 

种不同的表示方法．

Answer 1

考点：数字问题

专题：竞赛专题

分析：1到n是n个连续自然数的和，将2002平均分给n个数，所得的n个数仍是连续的自然数，
要将2002平均分成n份，所以2002能被n整除，即n是2002的约数．
2002=1×2×7×11×13，约数共有16个（1，2，7，11，13，14，22，26，77，91，143，154，182，286，1001，2002）．
题目要求n大于1，去掉1，
当n=2时，原式=1+2+1001×2=1002+1003
当n=7时，原式=1+2+3+…+7+286×7=287+288+…+293
当n=11时，原式=1+…+11+182×11=183+184+185+…193
当n=13时，原式=1+2+…13+154×13=155+156+157+…+167
当n=14时，原式=1+…+14+143×14=144+145+…+157
当n=22时，原式=1+…+22+91×22=92+93+…+113
当n=26时，原式=1+…+26+77×26=78+79+…+103
当n=77时，原式=1+…+77+26×77=27+28+…+103
当n=91时，原式=1+…+91+22×91=23+24+…+113
当n=143时，原式=1+…+143+14×143=15+16+…+157
当n=154时，原式=1+…+154+13×154=14+15+…+167
当n=182时，原式=1+…+182+11×182=12+13+…+193
当n=286时，原式=1+…+286+7×286=8+9+…+293
当n=1001时，原式=1+…+1001+2×1001=3+4+…+1003
当n=2002时，原式=1+…+2002+1×2002=2+3+…+2003

解答： 解：假设这n个自然数为 k+1，k+2，…，k+n，
则 （k+1）+（k+2）+…+（k+n）=（1+2+3+…+n）+2002
得nk=2002（n，k为自然数）
因为：
2002=2×7×11×13
所以2002的约数有2，7，11，13，14，22，26，77，91，143，154，182，286，1001，2002
所以共15种情况．
答：共有15种不同的表示方法．
故答案为：15．

点评：解答本题的关键是：正确找出2002的约数即可．