Question

3个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续3个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）

Answer 1

①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙数”必有因子3．
②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙数”必有因子4．
③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因子5．
④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙数的最大公约数至少是60．
另一方面，60=3×4×5，3、4、5是一个“美妙数”，美妙数的最大公约至多是60．
答：所有的美妙数的最大公约数只能是60．