Question

某花园的小径如右图所示．一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序（如：1→2→3→…→1）如果不能，请标出至少必须重复的小径（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．

Answer 1

考点：一笔画定理,多笔画定理

专题：几何的计算与计数专题

分析：首先这个图有8个奇点，那么不能一笔画出，笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数，所以需要8÷2=4笔画出这个图，那么需要重复其中的3条．

解答： 解：图中1～8这八个点都是奇点，所以不能无重复地走完各小径；
要想连贯地走完各条小径，就要重复走某些小径，可以这样想，把两个奇点之间连一条线，那么就有两个奇点变成了偶点，对于本题来说就是重复一次，即两个奇点之间多走一次．最后当把奇点数压缩到2个时，方可一笔画成，一共8个奇点，就需减少6个奇点，可以连3和4、5和6、7和8，最后剩下两个奇点，须重复的小径至少需要3条，比如3→4，5→6，7→8．

点评：本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成，以及多笔画笔画数的计算公式：笔画数=奇点数÷2．