Question

【题目】如图，当n=1时，图中有1个圆；当n=2时，图中有7个圆；当n=3时，图中有19个圆；…，按此规律，当n=5时，图中有 个圆．

Answer 1

【答案】61

【解析】所构成的图形是轴对称图形，沿中间的一列分开，两边对称，最左边的一行是n个圆，后面每一列比前面的每一列多一个，直到中间的一列，中间的一排是2n﹣1个．中间的后面的每排依次减少．

解：最左边的一列是n，第二列是n+1，第三列是n+2，…，第n列是2n﹣1；

第n列以后，各列的个数分别是2n﹣2，2n﹣3…，n．

则第n个图形的圆的个数是：

n+（n+1）+…（2n﹣1）+（2n﹣2）+（2n﹣3）+…+n

=2[n+（n+1）+（n+2）+…+（2n﹣2）]+（2n﹣1）

=（n﹣1）[n+（2n﹣2）]+（2n﹣1）

=3n2﹣3n+1．

所以当n=5时，图中有圆：3×52﹣3×5+1，

=3×25﹣15+1，

=75﹣15+1，

=61（个），

答：当n=5时，图中有圆61个．

故答案是：61．