Question

从 1，2，3，…，2010，2011这2011个数中取出若干个数，使其中任意两个数之和都不能被7整除，则最多可以取出

 

个数．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：首先得出能被7整除的数，从1开始，公差为7的满足题设条件的数，加上一个能被7整除的数，即可得出最多可以选出的数．

解答： 解：这2011数中，能被7整除的数，7、14、21、28、…2009，共有287个；
不能被7整除的数可以分成6类：
①被7除余数是1的数，1、8、15、22、…、2010，共有288个；
②被7除余数是2的数，2、9、16、23、…、2011，共有288个；
③被7除余数是3的数，3、10、17、24、…、2005，共有287个；
④被7除余数是4的数，4、11、18、25、…、2006，共有287个；
⑤被7除余数是5的数，5、12、19、26、…、2007，共有287个；
⑥被7除余数是6的数，6、13、20、27、…、2008，共有287个；
将被7除余1，余2，余3的三组数全部取出，它们之中任意两个数的和都不能被7整除，还可以从能被7整除的一组中任取1个数，与上述取出的数任意一个数的和也不能被7整除，
所以最多可取出288×2+287+1=864个数，
答：最多可以取出864个数．
故答案为：864．

点评：本题考查数的整除性的知识，难度较大，关键是掌握满足条件的数的特征，然后有的放矢的进行解答．注意不要漏解．