Question

互不相等的12个自然数，它们均小于36．有人说，在这些自然数两两相减（大减小）所得到的差中，至少有3个相等．你认为这种说法对吗？为什么？

Answer 1

分析：先假设这12个数的最多有2个数的差相等，找出这12个数的差最小时的和；这个和与最大数减去最小数的差相等，从中找出矛盾，证明结论、

解答：解：设这12个自然数从小到大依次为a₁，a₂，a₃，…，a₁₂，且它们两两相减最多只有2个差相等；
那么差为1，2，3，4，5的都最多只有2个．
从而a₁₂-a₁₁，a₁₁-a₁₀，a₁₀-a₉，…，a₂-a₁，
这11个差之和至少为：2×（1+2+3+4+5）+6=36，
但这11个差之和等于a₁₂-a₁；
而a₁₂-a₁＜36．这一矛盾说明，两两相减的差中，至少有3个相等．
所以这个人的说法是正确的．

点评：本题利用反证法，假设没有3个差相等，找出矛盾，从而得以证明．