Question

在多元智能大赛的决赛中只有三道题．已知：（1）某校25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍：（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人；（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是

 

．

Answer 1

考点：不定方程的分析求解

专题：不定方程问题

分析：先将答题情况分为7类，设出未知数，列出方程，从不定方程中解出符合条件的解．

解答： 解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题．
分别设各类的人数为a₁、a₂、a₃、a₁₂、a₁₃、a₂₃、a₁₂₃，
由（1）知：a₁+a₂+a₃+a₁₂+a₁₃+a₂₃+a₁₂₃=25，…①
由（2）知：a₂+a₂₃=（a₃+a₂₃）×2，…②
由（3）知：a₁₂+a₁₃+a₁₂₃=a₁-1，…③
由（4）知：a₁=a₂+a₃，…④
由②得：a₂₃=a₂-a₃×2，…⑤
由③④得：a₁₂+a₁₃+a₁₂₃=a₂+a₃-1，…⑥
把④⑤⑥代入①中，整理得到：a₂×4+a₃=26，
由于a₂、a₃均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a₂=6、5、4、3、2、1时，a₃=2、6、10、14、18、22；
又根据⑤可知：a2＞a3，
因此，符合条件的只有a₂=6，a₃=2．
然后可以推出a₁=8，a₁₂+a₁₃+a₁₂₃=7，a₂₃=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符合．
故答案为：6．

点评：本题的关键点是根据“每个人至少答出三题中的一道题”将答题情况分为7类，难点是从不定方程中解出符合条件的解．