Question

1．将1～13分别填入右图四个圆相互分割成的13个区域，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和再相加，总和最大是多少？最小是多少？

Answer 1

分析 经过观察发现，图中13个区域可以分成四种情况；第一种是四个圆的公共部分，第二种是三个圆的公共部分，第三种是二个圆的公共部分，第四种是一个圆单独的部分．由于题目要求总和最大，应满足圆与圆之间重叠次数较多的区域填尽可能大的数，如下图，区域a属于4个圆，应填13，b，c，d，e四个区域各属于3个圆，应填12，11，10，9，f，g，h，I四个区域，各属于2个圆，应填8，7，6，5，剩下四个区域只各属于1个圆，填最小的1，2，3，4，此时总和最大；
要想得到最小的值那么最大的几个数只能用的次数最少，所以只能填在最外面，只能用一次；重叠次数的越多的地方所填的数要越小，每个圆的和要接近．所以最大的四个数10、11、12、13填在四个圆的外面，6、7、8、9填在两个圆的相交处，2、3、4、5填在三个圆的相交处，1填在四个圆的相交处，这样就可以得到这个总和的最小值，据图计算即可．

解答 解：如下图，区域a属于4个圆，应填13，
b，c，d，e四个区域各属于3个圆，应填12，11，10，9，
f，g，h，I四个区域，各属于2个圆，应填8，7，6，5，
剩下四个区域只各属于1个圆，填最小的1，2，3，4，
此时总和最大，为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240

答：总和最大是240；
如图，根据分析把最大的数分别填在四个圆的外面，然后越往里面的数越小．

最小值为：10+11+12+13+（6+7+8+9）×2+（2+3+4+5）×3+1×4，
=46+60+42+4，
=152．
答：这个总和的最小可能值是152．

点评 此题考查了最大最小和图形的结合问题，把数字分成四部分，最大的数放在重叠次数多的地方，总和最大；大数用的次数最少入手，总和最小．