Question

从1～25这25个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是4的倍数，共有

72

种不同的取法．

Answer 1

分析：首先把这25个数按被4除的余数分类：被4整除、被4除余1、被4除余2、被4除余3；再进一步分析探讨每一组的数的余数和是否为4的倍数讨论；得出结论．

解答：解：（1）首先把这25个数分类：1、被4整除：4，8，12…24 （6个）；2、被4除余1：1，5，9，13…25（7个）；3、被4除余2：2，6，10，14…22（6个）；4、被4除余3：3，7，11，15…23（6个）；
（2）进一步分析探讨：第1组的数，必须和第1组的数，才能使和为4的倍数5+4+3+2+1=15（种）；第2组的数，必须和第4组的数，才能使和为4的倍数7×6=42（种）；第3组的数，必须和第3组的数，才能使和为4个倍数
5+4+3+2+1=15（种）；第4组的数，刚才已经讨论过了，不必再讨论；
所以一共有15+42+15=72（种）．
故答案为：72．

点评：此题主要利用有余数的除法特征以及分步探讨的方法解决问题．