Question

若 a，b，c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a+b+c=1155，则它们的最大公约数的最大值为

 

，最小公倍数的最小值为

 

，最小公倍数的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由于 a，b，c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a+b+c=1155，可先将1155分解因数，然后根据其因数情况进行分析．1155=3×5×7×11．
（1）由于a+b+c=1155，而1155=3×5×7×11．令a=mp，b=mq，c=ms．则1155=mp+mq+ms=m（p+q+s）．m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7．据此完成即可．1155=3×5×7×11=3×5×（1+2+4）×11即此时m=3×5×11=165．
（2）了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且使a，b，c的最小公倍数尽量小，据此分析完成即可．
（3）为了使最小公倍数尽量大，应使三个数两两互质且乘积尽量大．当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近．据此分析．

解答：解：（1）由于a+b+c=1155，而1155=3×5×7×11．令a=mp，b=mq，c=ms．则1155=mp+mq+ms=m（p+q+s）．m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7.1155=3×5×7×11=3×5×（1+2+4）×11，
即此时m=3×5×11=165．
（2）为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且使a，b，c的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，此时三个数分别为1×165=165，165×2=330，165×4=660．
它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660．
（3）为了使最小公倍数尽量大，应使三个数两两互质且乘积尽量大．
当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近．
由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，
而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，
它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，
即最小公倍数的最大值为57065085．
故答案为：165、660、57065085．

点评：首先将1155分解质因数，然后根据最大分约数，最小分倍数的意义进行分是完成本题的关键．