Question

长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？

Answer 1

分析：要满足条件，L一定是8，12和18的倍数，所以先求出三个数的公倍数，和两两的公倍数，从而得出重叠的段数，然后在根据容斥原理解答即可．

解答：解：假设L=[8，12，18]=72的K倍，即L=72K．那么：
红线将木棍等分8等份（9个分点），每份长度9K；
蓝线将木棍等分12等份（13个分点），每份长度6K；
黑线将木棍等分18等份（19个分点），每份长度4K；
又知：[9K，6K]=18K，重叠4段；[6K，4K]=12K，重叠6段；[9K，4K]=36K，重叠2段；
[9K，6K，4K]=36K，重叠2段．
由容斥原理二得：一共分割的段数为：（8+12+18）-4-6-2+2=28（段）；
或总点数为：（9+13+19）-5-7-3+3=29（分点），所以共有28段．
那么，最短段为红线与黑线的距离：L÷72=

L

72

．

点评：本题考查了重叠问题和容斥原理的总和应用；弄清重叠处，是解决这道题的关键点和突破点．