Question

12．如图，梯形的上底为a，下底长为b，高为h，证明梯形的面积S_梯=$\frac{1}{2}$（a+b）h（用三种方法证明）

Answer 1

分析 第一种，如图一：从A和D分别向BC边作垂线，那么梯形面积就是两个三角形加中间的矩形，三角形面积和矩形面积相加就得出结果，矩形面积=a×h，假设两个三角形的底分别为e，f，那么面积是$\frac{1}{2}$（e×h），$\frac{1}{2}$（f×h），而e+f=b-a相加，面积=a×h+$\frac{1}{2}$（e×h）+$\frac{1}{2}$（f×h）=$\frac{1}{2}$（a+b）h；
第二种，如图二：从A向BC变作平行于CD的线，那么梯形面积就是三角形加平行四边形面积
平行四边形面积=a×h，三角形面积=$\frac{1}{2}$（b-a）h，相加=$\frac{1}{2}$（a+b）h；
第三种，如图三：连接AC，梯形面积就是两个三角形面积相加．两个三角形面积分别为：$\frac{1}{2}$ah，$\frac{1}{2}$bh，相加=$\frac{1}{2}$（a+b）h．

解答 解：证明（1）如图一：从A和D分别向BC边作垂线交BC于E和F，设BE=e，CF=f，
三角形ABE和三角形DCF的高：AE=DF=h，
因为三角形ABE的面积=$\frac{1}{2}$e×h，三角形DCF的面积=$\frac{1}{2}$f×h，矩形面积=a×h，e+f=b-a，
所以梯形ABCD的面积=三角形ABE的面积+矩形AEFD的面积+三角形DCF的面积=$\frac{1}{2}$e×h+a×h+$\frac{1}{2}$f×h=$\frac{1}{2}$（e+f）h+a×h=$\frac{1}{2}$（b-a）h+ah=$\frac{1}{2}$（a+b）h

证明（2）如图二：从A和D分别向BC边作垂线交BC于E和F，从A向BC作平行于CD的线，交BC于G，则GC=AD=a，
三角形ABG和平行四边形AGCD的高：AE=DF=h，BG=b-a，
因为平行四边形AGCD的面积=a×h，三角形ABG的面积=$\frac{1}{2}$（b-a）h，
所以梯形ABCD的面积=平行四边形AGCD的面积+三角形ABG的面积=a×h+$\frac{1}{2}$（b-a）h=$\frac{1}{2}$（a+b）h

证明（3）如图三：从A向BC边作垂线交BC于E，从C向AD作垂线交AD的延长线于F，连接AC，
则三角形ABC的高和三角形CDA的高：AE=CF=h，
因为三角形ABC的面积=$\frac{1}{2}$b×h，三角形ACD的面积=$\frac{1}{2}$a×h，
所以梯形ABCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积=$\frac{1}{2}$b×h+$\frac{1}{2}$a×h=$\frac{1}{2}$（a+b）h

点评 此题主要考查梯形的面积公式推导的方法．