Question

如图，在矩形ABCD中，已知对角线长为2，且∠1=∠2=∠3=∠4．求四边形EFGH的周长．

Answer 1

考点：相似三角形的性质（份数、比例）

专题：平面图形的认识与计算

分析：由∠1=∠2=∠3=∠4可得出∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，从而可得出∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，这样即可得出HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，连接AC、BD，则有：

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，从而可得

GF

AC

+

HG

BD

=

AG

AD

+

GD

AD

=1，即GF+HG=AC=2，根据平行四边形的性质可得出四边形EFGH的周长．

解答： 解：因为∠1=∠2=∠3=∠4，
所以∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，
在四边形GHEF中，∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，
故可得HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，
所以△AHG≌△CFE，△DGF≌△BEH，△BEH∽△CEF，△DGF∽△CEF，
所以

BE

CE

=

BH

CF

=

DF

FC

，
所以EF∥BD，
同理HG∥BD，
所以

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，
所以

GF

AC

+

HG

BD

=

AG

AD

+

GD

AD

=1，又因为

GF

AC

+

HG

BD

=

GF

AC

+

HG

AC

，AC=BD，
即GF+HG=AC=2，
所以四边形EFGH的周长=2（GF+HG）=4．
答：四边形EFGH的周长是4．

点评：此题考查了矩形的性质及相似三角形的性质，题目看着比较简单，但不容易想出求解思路，解答本题的关键是得出比例式

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，进而解决问题．