Question

如图是一个向右和向下方可以无限延伸的棋盘，横排为行，竖排为列，将自然数按已填好的4×4个方格中的数字显现的规律填入方格中．
（1）求位于第3行、第8列的方格内的数；
（2）写出位于从左上角向右下角的对角线
上的方格内的数组成的数列的第10个数；
（3）数321在哪一个方格内？

Answer 1

分析：（1）在第3行中，由左向右的数字依次是：a₁=6，a₂=9=a₁+3，a₃=13=a₂+4，a₄=18=a₃+5，a_n=a_n-1+（n+1）．
（2）位于从左上角到或下角的对角线上的方格内的数字依次是：b₁=1，b₂=5=b₁+4×1，b₃=13=b₂+4×2，b₄=25=b₃+4×3，b_n+1=b_n+4n．
（3）为求数321在哪个方格内，可将棋盘上的数按从右上到左下的对角线方向排列如下：
（3）为求数321在哪个方格内，可将棋盘上的数按从右上到左下的对角线方向排列如下：
第1组1
第2组2，3
第3组4，5，6
第4组7，8，9，10
显然，从第1组到第n组共包含1+2+3++n=

n(n+1)

2

个数，故第n组中最大数是

n(n+1)

2

．

解答：解：a₈=a₇+9=a₆+8+9═a₄+6+7+8+9=18+30=48．
答：位于第3行、第8列的方格内的数是48．
（2）b_n+1=b_n+4n
b₁₀=b₉+4×9=b₈+4×8+4×9
=b₄+4×4+4×5+4×6+4×7+4×8+4×9
=25+4×（4+5+6+7+8+9）
=181．
答：第10个数为181．
（3）321是第321个数，321所在“组”的行号是满足

n(n+1)

2

≥321的最小自然数n，
从

24?25

2

=300和

25?26

2

=325，可得n=25．
前24组共有1+2+3++24=300个数，因而321是第25组中第321-300=21个数．
答：321位于第21行，第5列的方格内．

点评：本题是较复杂的数阵问题，先找到所求的行或列的规律，再根据规律求解．