Question

已知38²=1444，像1444这样能表示为某个自然数的平方，并且抹3位数字为不等于0的相同数字，我们就定义为“好数”．
（1）请再找出一个“好数”．
（2）讨论所有“好数”的个位数字可能是多少？
（3）如果有一个好数的末4位数字都相等，我们就称之为“超好数”，请找出一个“超好数”，或者证明不存在“超好数”．

Answer 1

分析：（1）因为38²=1444，所以1038²=1077444；则10038²，100038²…等都可以是“好数”． （2）据完全平方数的性质可知，平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．因此可从平方末位数是 1，4，9，6，5几种情况进行讨论验证所有“好数”的个位数字可能是多少．（3）假设存在超好数，设为1000n+38； 则有：（1000n+38）平方=1000000n平方+76000n+1444=1000×（1000n平方+76n+1）+444 （1000n平方+76n+1）不可能被4整除；也就是不可能得到倒数第四位为4；，故假设不成立． 即：不存在超好数．

解答：解：（1）因为38²=1444，所以1038²=1077444；则10038²，100038²…等都可以是“好数”．
（2）方数的性质可知，完全平平方末尾数字只可能是1，4，9，6，5和0，0不考虑．
末尾数是5的平方尾数一定是25，故不可能是5；
对于1，设（10a+1）的平方满足X111；而（10a+1）的平方=20a×（5a+1）+1；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
对于9，设（10a+3）的平方满足X999；而（10a+3）平方=20a×（5a+1）+9，倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
又设（10a+7）平方满足X999；而（10a+7）的平方=20a×（5a+7）+1；倒数第二位一定是偶数，不符合题意；
对于6，设（10a+4）平方满足X666；而（10a+4）的平方=（100a平方+80a+10）+6，倒数第二位一定是奇数，不符合题意；
设（10a+6）的平方满足X666；而（10a+6）的平方=10×（10a×a+12a+3）+6；倒数第二位一定是奇数，不符合题意；
故好数的个位数字只能是4．
（3）假设存在超好数，设为1000n+38； 则有：（1000n+38）平方=1000000n平方+76000n+1444=1000×（1000n平方+76n+1）+444 （1000n平方+76n+1）不可能被4整除；
也就是不可能得到倒数第四位为4；，故假设不成立．
即：不存在超好数．

点评：完成本题要在了解完全平方数性质的基础上，根据数据的特点，针对不情况进行分析，从而得出结论．