Question

用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，能否组成一个最小的、能被11整除的九位数？如果能，请写出这个九位数，并写出思考过程；如果不能，请说明原因．

Answer 1

分析：由于能被11整除的整数，其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数，根据这9个数字之和为45，那么奇位与偶位上的数字个数必定是：要么为4个，要么为5个，然后分情况讨论即可得出答案．

解答：解：由于能被11整除的整数，其奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差也是11的倍数，但这9个数字之和为45，那么奇位与偶位上的数字个数必定是：要么为4个，要么为5个．
假设奇位与偶位上的数字之和分别为a、b，则有：a+b=45，
可知a、b必定为一奇一偶，a、b二者中最小为1+2+3+4=10，那么a、b只有一种可能解：28、17，
要使组成的九位数最小，1、2、3、4、5应尽量排在前面，6、7、8、9尽量排在后面，因为这个数最小的排列方式（先不考虑被11整除）为123456789，其中奇数位和=25大于17，所以奇数位和=28，偶数位和=17，因为123456789中奇数位和比28小三，所以把后六位数每两位调换，变成124365879；
综上得：最小的九位数为124365879．

点评：本题主要考查数的整除性问题，难度较大，需要很强的逻辑思维能力，解答本题时要充分利用讨论试探的方法，对于此类题目往往不能一步到位，而需要慢慢试探着进行．