Question

有三个连续的四位正整数，中间一个为完全平方数，且三个数的和能被15整除，则中间的数的最小值是

1225

．

Answer 1

分析：由于是三个连续的正整数，所以可设这三个连续正整数为：设为n-1，n，n+1．则三数之和为（n-1）+n+（n+1）=3n，三个数之和肯定能被3整除，因为3数之和能被15整除，15=5×3，所以n能被5整除即，中间一个数肯定能被5整除．因为n为完全平方数，所以n能被25整除．据此通过求得这个完全平方数的最小值是多少．

解答：解：可设这三个连续正整数为：设为n-1，n，n+1．
则三数之和为（n-1）+n+（n+1）=3n，
因为3数之和能被15整除，15=5×3，所以n能被5整除；
因为n为完全平方数，所以n能被25整除．
设n=25K
k为完全平方数有小到大为0，1，4，9，16，25，36，49．
因为36×25=900，49×25=1225．n为4位数，
所以1225为最小所求的四位数．
故答案为：1225．

点评：如果一个完全平方的数的两个因数中的一个因数为完全平方数，则别一个因数一定也定为完全平方数．