Question

有两个数，一个有9个约数，一个有10个约数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是

 

．

Answer 1

考点：约数个数与约数和定理

专题：整除性问题

分析：先把最小公倍数是2800分解质因数，2800=2⁴×5²×7，根据“一个有9个约数，”它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；又可知这个数的质因数的指数加1的积是：9=3×3=（2+1）×（2+1）；所以这个数是2²×5²=4×25=100；同理，根据“一个有10个约数，”可知这个数的质因数的指数加1的积是：10=2×5=（1+1）×（4+1），所以这个数是2⁴×7¹=16×7=112，据此解答．

解答： 解：2800=2⁴×5²×7，
设第一个数是N，第二个数是M，
因为N它的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；则它的质因数的指数加1的积是：
9=3×3=（2+1）×（2+1）；
所以这个数是：N=2²×5²=4×25=100；
同理，M的质因数的指数加1的积是：
10=2×5=（1+1）×（4+1），
所以这个数是：M=2⁴×7¹=16×7=112；
答：这两个数分别是100和112．
故答案为：100，112．

点评：此题是数论中的约数个数问题；即一个合数的约数个数的计算公式：N=p^α×q^β×r^γ（其中N为合数，p、q、r是质数），则N的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．