Question

两个人共同写一个由 1、2、3、4、5组成的 2010 位数，先由甲写第一个数字，然后两人轮流写数字．
（1）乙是否可以保证最终得到的数是 9 的倍数？若能，如何做到？若不能请说明理由．
（2）如果两人共同写一个这样的 2012 位数，乙是否可以保证最终得到的数是 9 的倍数？若能，如何做到？若不能，请说明甲的策略．

Answer 1

考点：最佳对策问题

专题：数学游戏与最好的对策问题

分析：（1）1、2、3、4、5、3无论怎样组合1+2+3+4+5+3=18，能被9整除，如：214353÷9=23817，335124÷9=37236，…，这六个数字的循环能被9整除，2010÷6=335，有335个循环，同理2010位数也能倍9整除，把这六个数分成两组，发现1+5=6，2+4=6，3+3=6，所以只要甲写1，则乙写6-1=5；甲写2，则乙写6-2；甲写3，则乙写6-3=3；甲写4，则乙写6-4=2；甲写5，则乙写6-5=1；即可保证乙获胜．
（2）2012÷6=335…2，不是6的整数倍，乙无法和（1）那样，跟在甲的后面写数，保证是1、2、3、4、5、3六个数字的循环，乙不能获胜，除非前两个数字是45或54，后面的2010位数同（1）样跟在甲后面写，则乙才能保证2012位数倍9整除，有可能获胜；甲为了保证获胜，则第一个数字就不写4和5，即在1、2、3中任选一个，乙无法获胜；据此得解．

解答： 解：（1）根据分析，只要甲写1，则乙写6-1=5；甲写2，则乙写6-2；甲写3，则乙写6-3=3；甲写4，则乙写6-4=2；甲写5，则乙写6-5=1；即可保证乙获胜．
（2）甲为了保证获胜，则第一个数字就不写4和5，即在1、2、3中任选一个，乙无法获胜．

点评：此题关键是1、2、3、4、5、3六个数字的组合是9的整数倍．