Question

【题目】如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米， 米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园， 都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点， ，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部门的平均修建费用为元/米.

（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？

（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低.

【解析】试题分析：

（1）设直线矩形交于两点，则阴影部分的面积为矩形的面积减去梯形和扇形与扇形的面积．（2）设，则，故，从而可得修建费用，利用导数求解，可得当时，即， 有最小值，即修建费用最低．

试题解析：

（1）如图,设直线矩形交于两点，连，则米， 米．

梯形的面积为平方米，

矩形的面积为平方米，

由，得扇形和扇形的面积均为平方米，

故阴影部分面积为平方米．

（2）设，则，

所以，

修建费用，

所以，

令，得，

当变化时， 的变化情况如下表：

		0
		极小值

由上表可得当时，即， 有极小值，也为最小值．

故当为时，修建费用最低．