Question

【题目】用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有多少种不同的凑法?

Answer 1

【答案】541

【解析】

5分的硬币最多可以有100÷5＝20枚；

当5分的硬币有20枚，那么只有这1种凑法；

当5分的硬币有19枚，则剩下的5分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+1＝2+1+1+1＝1+1+1+1+1＝5，所以共有3种凑法；

当5分的硬币有18枚，则剩下的10分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有5+1＝6种凑法；

当5分的硬币有17枚时，则剩下的15分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替换为1分的，于是有7+1＝8种凑法；

当5分的硬币有16枚时，则剩下的20分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2，2分的可以替换为1分的，于是有10+1＝11种凑法；

当5分的硬币有15枚时，则剩下的20分由1分和2分的硬币凑成，有2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+1，2分的可以替换为1分的，于是有12+1＝13种凑法；

于是，我们把两种情况作为一组，有(1，3)，(6，8)，(11，13)，…，

即每组数内两个数字相差2，从第2组开始，每组数的第一个数字比前一组的第一个数字大5，

5分的硬币可以取20～0枚，即有21种情况，分成10组还剩下一种情况，

有(1，3)，(6，8)，(11，13)，(16，18)，(21，23)，(26，28)，(31，33)，(36，38)，(41，43)，(46，48)，51

所以共有(1+6+11+16+21+26+31+36+41+46+51)+(3+8+13+18+23+28+33+38+43+48)＝(1+51)×11÷2+(3+48)×10÷2＝286+255＝541种．

即用1分、2分和5分的硬币凑成1元．共有541种不同的凑法．