Question

图中，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 的长度分别为3和4，将三角形ABC绕点C顺时针旋转至A₁B₁C，使得A₁C与B₁C在直线l上．
A₁A交B₁C于D，求

AD

A1D

．

Answer 1

分析：如图，作三角形ABC关于A₁B对称的三角形A₂BC，连结AB₁，A₂B和A₂C，根据角之间的关系推出A₂、C、B₁ 三点共线，然后根据三角形的面积与底成正比的关系，解决问题．

解答：解：如图，作三角形ABC关于A₁B对称的三角形A₂BC，连结AB₁，A₂B和A₂C，

因为AB=3，BC=4，所以A₂C=5，B₁C=4，S△AA₂C=2S△_ABC=12．
因为∠ACB+∠ACB₁+∠A₁CB₁=∠ACB+∠ACB₁+∠A₂CB=180°，
所以A₂、C、B₁ 三点共线，且

S△AA2C

S△AB1C

=

A2C

B1C

=

5

4

，即S△AB1C=

48

5

．
因为

S△ACD

S△CDA1

=

AD

A1D

，且

S△ADB1

S△B1A1D

=

AD

A1D

，
所以

S△ACD+S△AB1D

S△CDA+S△CA1D

=

AD

A1D

．
因此，

AD

A1D

=

48

5

×

1

6

=

8

5

．

点评：此题通过作辅助线，运用三角形的面积与底成正比的关系，解决问题．