Question

在1～100的100个数中取出两个不同数相加，使其和是3的倍数，问有

1650

种不同取法．

Answer 1

分析：要使取出的两数相加的结果是3的倍数，可将1～100中的这100个数分为3k，3k+1，3k+2这三个类型的数，由于3k型数只能与3k型数相加其结果是3的倍数，3k+1型数只能与3k+2型数相加其结果是3的倍数，所以一种方法是在33个3k型数中任取两个相加，还有一种方法是在34个3k+1型数中取1个，在33个3k+2型数中取1个．然后根据1～100中这三处类型数的个数即能求出有多少种不同的取法．

解答：解：根据题意将1～100中的这100个数分为3k，3k+1，3k+2这三个类型的数：
3k型数有：3，6，…，99，共33个；
3k+1型数有：1，4，7，…，100，共34个；
3k+2型数有：2，5，…，98，共33个．
一种方法是在33个3k型数中任取两个相加：共有33×32÷2=528种取法，
还有一种方法是在34个3k+1型数中取1个，在33个3k+2型数中取1个：共有33×34=1122种取法．
所以取法总数为：528+1122=1650种．
故答案为：1650．

点评：根据题意将这100个数分成三种不同类型进行分析，然后根据排列组合有关知识进行计算是完成本题的关键．