Question

设x₁，x₂，…，x₁₂是任意互异的12个整数，试证明其中一定存在8个整数x₁，x₂，…，x₈，使得：（x₁-x₂）×（x₃-x₄）×（x₅-x₆）×（x₇-x₈）恰是1155的倍数．

Answer 1

分析：因为1155=3×5×7×11，所以只要证明这个积是3，5，7，11的公倍数既可．因为有十二个数，所以（根据抽屉原理）一定存在两个数，他们除以11的余数相同，不妨设x₁，x₂，那么（x₁-x₂）是11的倍数．同理还有10个数那么这10个数中一定有两个数，它们除以7的余数相同，不妨设x₃、x₄，那么x3-x4是7的倍数．以此类推，8个数中一定有两个数的差能被5整除，6个数中一定有两个数的差能被3整除．那么它们就可以被11×7×5×3=1155整除．

解答：解：对1155分解质因数得1155=3×5×7×11．
因为，在所给的12数中，必有2数除以11，余数相同，设这2数为x₁，x₂，则（x₁-x₂）是11的倍数．
在剩下的数中，必有2数除以7，余数相同，设这2数为x₃，x₄，则（x₃-x₄）是7的倍数．
在剩下的8数中，必有2数除以5，余数相同，设这2数为x₅，x₆，则（x₅-x₆）是5的倍数．
在剩下的6数中，必有2数除以3，余数相同，设这二数为x₇，x₈，则（x₇-x₈）是3的倍数．
故存在8个数x₁，x₂，x₈，使（x₁-x₂）（x₃-x₄）（x₅-x₆）（x₇-x₈）是1155的倍数．

点评：本题要在了解“抽屉原理”的基础上完成．