Question

如图，以Rt△ABC的边AC为直径的⊙O交斜边AB于点D，点F为BC上一点，AF交⊙O于点E，且DE∥AC．
（1）求证：∠CAF=∠B．
（2）若⊙O的半径为4，AE=2AD，求DE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：

分析：（1）连接CE，根据圆周角定理可知∠AEC=90°，故∠CAF+∠ACE=90°．再由题意可知∠B+∠DAC=90°，根据DE∥AC，可得

CE

=

AD

，故

CD

=

AE

，由圆周角定理可知∠ACE=∠DAC，故可得出结论；
（2）连接DC，由（1）知DE∥AC，故可得出AD=CE，由全等三角形的判定定理得出Rt△ACD≌Rt△CAE，所以CD=AE=2AD，设AD=x，则CD=2x，在Rt△ABD中根据勾股定理可求出AD，CD的长，过D作DM⊥AC，过O作ON⊥ED，由

1

2

AD•CD=

1

2

AC•DM可得出DM的长，连OD，在Rt△OND中，由勾股定理可求出DN的长，由ED=2DN即可得出结论．

解答：（1）证明：连接CE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAF+∠ACE=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠DAC=90°，
∵DE∥AC，
∴

CE

=

AD

，
∴

CD

=

AE

，
∴∠ACE=∠DAC，
∴∠CAF=∠B；

（2）解：连DC，
∵DE∥AB，
∴∠CAE=∠AED，
∴AD=BE，
在Rt△ACD与Rt△CAE中，
∵

AC=CA AD=CE

，
∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL），
∴CD=AE=2AD，
设AD=x，则CD=2x，
在Rt△ACD中，x²+（2x）²=8²，
∴AD=

8 5

5

，CD=

16 5

5

．
过D作DM⊥AC，过O作ON⊥ED，
∴

1

2

AD•BD=

1

2

AC•DM，
∴DM=

AD•BD

AB

=

8 5 5 × 16 5 5

8

=

16

5

=ON，
连OD，在Rt△OND中，
∵DN=

OD2-ON2

=

42-( 16 5 )2

=

12

5

∴ED=2DN=

24

5

．

点评：本题考查的是圆周角角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．