Question

如图，已知A（a，b），AB⊥y轴于B，且满足|a-2|+（b-2）²=0，
（1）求A点坐标；
（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边三角形△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图2，过A作AE⊥x轴于E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点，满足∠FBG=45°，试探究

OF+AG

FG

的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,非负数的性质：绝对值,非负数的性质：偶次方,坐标与图形性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据|a-2|+（b-2）²=0得出|a-2|=（b-2）²=0，求出即可；
（2）根据等边三角形的性质得出AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=60°，求出∠BAO=∠CAD，证出△BAO≌△CAD即可；
（3）在FO的延长线上截取OM=AG，连接BM，证出△BOM≌△BAG，推出∠ABG=∠MBO，BG=BM，求出∠MBF=∠FBG=45°，证出△MBF≌△GBF，推出FM=FG即可．

解答：解：（1）∵|a-2|+（b-2）²=0，|a-2|≥0，（b-2）²≥0，
∴|a-2|=（b-2）²=0，
∴a=b=2，
∴点A坐标为（2，2）；

（2）∵△ABC、△AOD均为等边三角形，
∴AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=60°，
∵∠BAO+∠CAO=∠BAC，∠CAD+∠CAO=∠OAD，
∴∠BAO=∠CAD，
∵在△BAO和△CAD中，

AB=AC ∠BAO=∠CAD AO=AD

，
∴△BAO≌△CAD，（SAS）
∴CD=OB=2，∠ACD=∠ABO=90°，
∴AC=CD，AC⊥CD；

（3）
如图，在FO的延长线上截取OM=AG，连接BM，
∵AB⊥y轴，AE⊥x轴，x轴⊥y轴，A（2，2），
∴∠ABO=∠AEO=∠BOE=90°，AB=AE=2，
∵∠A=∠BOM=90°，
在△BOM和△BAG中

AB=BO ∠BOM=∠A OM=AG

∴△BOM≌△BAG，
∠ABG=∠MBO，BG=BM，
∵∠FBG=45°，∠ABO=90°，
∴∠ABG+∠OBF=45°，
∴∠MBO+∠OBF=45°，
∴∠MBF=∠FBG=45°，
在△MBF和△GBF中

BF=BF ∠MBF=∠GBF BM=BG

∴△MBF≌△GBF，
∴FM=FG，
∵AG=OM，
∴OF+AG=FG，
∴

OF+AG

FG

的值是1，
即

OF+AG

FG

的值不发生变化，其值是1．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，有一定的难度．