Question

（2005•南通）如图，已知：AO为⊙O₁的直径，⊙O₁与⊙O的一个交点为E，直线AO交⊙O于B、C两点，过⊙O的切线GF，交直线AO于点D，与AE的延长线垂直相交于点F，OG∥AF．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB=2，AE=6，求△ODG的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OE，由于AO是⊙O₁的直径，则直径对的圆周角是直角，所以∠AEO=90°，而OE是圆O的半径，所以AE是圆O的切线；
（2）由切割线定理可求得AC，BC的长，从而得到四边形FGOE是正方形，根据平行线的性质可求得DG的长；再根据勾股定理得到CD的长，这样△ODG的周长就不难求得了．
解答：（1）证明：连接OE，
∵AO是⊙O₁的直径，
∴∠AEO=90°．
∵OE是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线．

（2）解：∵AE是⊙O的切线，ACO是⊙O的割线，
∴AE²=AB•AC．
∴AC=18，BC=AC-AB=16，OG=OB=8．
∵OE⊥AF，OG⊥DF，DF⊥AF，EF=FG，OE=OG，
∴四边形FGOE是正方形，
∴EF=OG=8，AF=14．
∵OG∥AF，
∴OG：AF=DG：（DG+FG）．
解得DG=．
在Rt△OGD中，OG²+DG²=OD²，即8²+（）²=（8+CD）²
解得，CD=．
∴△ODG的周长=DG+CD+OC+OG=32．
点评：本题利用了切线的性质，切割线定理，勾股定理，正方形的性质的综合运用．