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    如图1，在平面直角坐标系中，已知梯形ABCD，点A、B在y轴上，点C在x轴上，AB∥CD，OA=2CD，OC=OB，tan∠A=2，梯形SABCD=5．
    （1）求直线L的解析式；
    （2）如图2，若45°角的顶点与点A重合，一条边交x轴于点P（-1.5，0），另一条边交直线L于点E，将45°角绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0＜α＜135°）．设OP=x，S△PEC=S，求S与x的关系式；
    （3）如图3，在②的条件下，射线AE交直线DC于点F，连接PF，在旋转过程中，若△PEC的面积为
    3
    2
    ，问：在x轴上是否存在点M，使P、E、M三点所构成的三角形与△PEF相似？若存在求M点的坐标；若不存在，说明理由．
    考点：一次函数综合题
    专题：代数几何综合题
    分析：（1）过D作DH⊥y轴于点H，利用梯形的面积公式即可求得CD的长，得到C，B的坐标，利用待定系数即可求得函数的解析式；
    （2）分点P在x轴负半轴时，点P在线段OC上时，点P在线段OC上时，三种情况进行讨论，利用相似三角形的性质即可求解；
    （3）把S的值分别代入（2）中得到的函数解析式，利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质即可求解．
    解答：解：（1）过D作DH⊥y轴于点H．设AH=x，
    ∵tanA=
    DH
    AH
    =
    DH
    x
    =2，
    ∴DH=2x，
    ∵OA=2CD=2OH，
    ∴CD=OH=x，OC=OB=2x，
    ∴S梯形AOCD=
    1
    2
    （CD+AB）•OC，即5=
    1
    2
    （x+4x）•2x，
    解得：x=1，
    ∴OC=OB=2x=2，
    ∴OC=OB=2，
    ∴C的坐标是（2，0），B的坐标是（0，2）．
    设直线l的解析式是：y=kx+b，则
    2k+b=0
    b=-2
    ，
    解得：
    k=1
    b=-2
    ，
    则函数的解析式是：y=x-2；
    （2）第一种情况：当点P在x轴负半轴时，连接AC，∵OA=OC=OB=2，
    ∴∠ACB=90°，∠OAC=45°，
    ∴∠ACE=∠AOP=90°，
    ∵∠2+∠3=45°，∠1+∠3=45°，
    ∴∠1=∠2，
    ∴△ACE∽△APO，
    ∴
    CE
    OP
    =
    AC
    OA
    =
    		2
    ，即CE=
    		2
    OP，
    过点E作EG⊥x轴，于点G．
    ∵OC=OB=2，
    ∴∠OCB=45°，
    ∴△CEG是等腰直角三角形，
    ∴CE=
    		2
    EG，
    ∴OP=EG=x，
    ∴S△PEC=
    1
    2
    PC•EG=
    1
    2
    （x+2）•x=
    1
    2
    x2+2x；
    第二种情况：当点P在线段OC上时，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠ACE+∠AOP=90°，
    ∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
    ∴∠1=∠2，
    ∴△AOP∽△ACE，
    ∴
    CE
    OP
    =
    AC
    OA
    =
    		2
    ，
    ∴CE=
    		2
    OP，
    过E作EG⊥x轴，垂直是G，可得等腰△CEG，
    ∴CE=
    		2
    EG，
    ∴EG=OP=x，
    S△PEC=
    1
    2
    PC•EG=
    1
    2
    （2-x）•x=
    1
    2
    x2+x，
    第三种情况，当点P在线段OC上时
    同理可得：△AOP∽△ACE，
    ∴
    CE
    OP
    =
    AC
    OA
    =
    		2
    ，
    ∴CE=
    		2
    OP，
    过E作x轴的垂线，垂足是G，可得等腰直角△CEG，
    ∴CE=
    		2
    EG，
    ∴EG=OP=x，
    ∴S△PEC=
    1
    2
    PC•EG=
    1
    2
    （x-2）•x=
    1
    2
    x2-2x，
    ∴当P在x轴负半轴上，S=
    1
    2
    x2+2x，
    当P在线段OC上时，S=-
    1
    2
    x2+x，
    当P在OC延长线上时，S=
    1
    2
    x2-2x；
    （3）第一种情况，把S=
    3
    2
    代入s=
    1
    2
    x2+2x，解得：x1=1，x2=-3，（舍去），
    ∴OP=EG=1，设E（a，-1），
    ∴把y=-1代入y═x-2得：a=1，则E（1，-1），
    ∵A的坐标是（0，2），
    ∴直线AE的解析式是y=-3x+2，
    ∵A（0，2），
    ∴直线AE的解析式是：y=-3x+2，
    ∵OC=2，设F（2，b）代入y=-3x+2，得b=-4，
    ∴F（2，-4），
    直角△PCF中，PC=3，CF=4，则PF=5，
    过E作EN⊥PF，垂足是N，则
    1
    2
    ×3×4=
    1
    2
    ×3×1+
    1
    2
    ×4×1+
    1
    2
    ×5•EN，
    解得：EN=1，
    ∵EG⊥PC，EN⊥PF，EG=EN=1，
    ∴∠PFE=∠EPC．
    ①当∠PEM=∠PEF时，△PEM≌△PEF，此时PM=PF=5，
    ∴M1（4，0）；
    当∠PME=∠PEF时，△PEM2∽△PEM1，
    ∴PE2=PM2•PM1，22+12=PM2×5，
    ∴PM2=1，
    ∴O与M2重合，
    ∴M2（0，0）；

    第二种情况：
    把S=
    3
    2
    代入S=-
    1
    2
    x2+x中，x2-2x+3=0，△＜0，方程无解；

    第三种情况：
    把S=
    3
    2
    代入S=
    1
    2
    x2-2x中，解得：x1=-1（舍去），x2=3，
    ∴EG=OP=3，设E（a，3）代入y=x-2得：a=5，
    ∴E的坐标是（5，3），
    ∵A（0，2），
    ∴直线AE的解析式是：y=
    1
    5
    x+2，
    ∵OC=2，设F的坐标是（2，b），代入y=
    1
    5
    x+2，得：b=
    12
    5
    ，
    在直角△CPF中，∵CP=1，CF=
    12
    5
    ，
    ∴PF=
    13
    5
    ，
    过E作EN⊥PE，利用面积法，S△CEF+S△CPE-S△PEF=S△PCF．
    则
    1
    2
    CF•NC+
    1
    2
    PF•EN=
    1
    2
    CP•EF，即
    12
    5
    ×3+1×3-
    13
    5
    EN=1×
    12
    5
    ，
    ∴EN=3．
    ∵EN⊥PF，EN⊥PN，EN-EG=3，
    ∴∠FPE=∠EPN，
    ①当∠EM3P=∠EFP时，△EPM3≌△EFP，此时PM3=PF=
    13
    5
    ，
    ∴OM3=
    13
    5
    +3=
    28
    5
    ，
    ∴M3（
    28
    5
    ，0）；
    ②当∠PEM4=∠EFP时，△EPM4∽△M3PE，则PE2=PM3•PM4，
    即（
    		3
    ）2=
    13
    5
    PM4，
    ∴PM4=5，
    ∴M4的坐标是（8，0）．
    总之，当P在x轴的负半轴时，M的坐标是（4，0）或（0，0）；当P在线段OC上时，不存在；当P在OC上时，M的坐标是（
    28
    5
    ，0）或（8，0）．
    点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的判定与性质，正确进行讨论是关键．
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    1
    3
    ，求DG；
    （2）求证：
    		2
    FE-FB=FG．

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    k
    x
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    EF
    DE
    +
    FG
    DG
    =1    ；
    （2）如果点F在CB边的延长线上，点G在AB边上，试写出
    EF
    DE
    与
    FG
    DG
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知x=
    (a+b)m
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    3b-6
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，直线y=-
    		3
    x+
    		3
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    ；点C的坐标为
     
    ；
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    和
     
    ．

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