Question

7．如图，在平面直角坐标系中，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面积为3，求k的值和直线AB的解析式；
（2）求证：$\frac{DE}{CE}$=$\frac{BE}{AE}$；
（3）若AD∥BC，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出k的值，进而得出mn=12，然后利用三角形的面积公式建立方程，联立方程组求解即可；
（2）先表示出BE，CE，DE，AE，进而求出BE•CE和DE•CE即可得出结论；
（3）利用（2）的结论得出△DEC∽△BEA，进而得出AB∥CD，即可得出四边形ADCB是菱形即可得出点B的坐标．

解答 解：（1）∵函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），
∴k=2×6=12，
∵B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，
∴mn=12①，BD=m，AE=6-n，
∵△ABD的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$BD•AE=3，
∴$\frac{1}{2}$m（6-n）=3②，
联立①②得，m=3，n=4，
∴B（3，4）；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=6}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-2x+10

（2）∵A（2，6），B（m，n），
∴BE=m-2，CE=n，DE=2，AE=6-n，
∴DE•AE=2（6-n）=12-2n，
BE•CE=n（m-2）=mn-2n=12-2n，
∴DE•AE=BE•CE，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{AE}$

（3）由（2）知，$\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{AE}$，
∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴△DEC∽△BEA，
∴∠CDE=∠ABE
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCB是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴四边形ADCB是菱形，
∴DE=BE，CE=AE．
∴B（4，3）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解（1）的关键是确定出k的值，解（2）的关键是表示出DE•AE，BE•CE，解（3）的关键是判断出四边形ADCB是菱形．