Question

16．如图，正方形ABCD，AC、BD交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠EOF=90°，则下列结论①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE²+CF²=2OE²中正确的有①②③④（只写序号）

Answer 1

分析 如图延长FO交AD于H，连接EH．首先证明△EOB≌△FOC，推出BE=CF，OE=OF，由AB=BC，推出AE=BF，BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正确，再证明△AOH≌△COF，推出AH=CF，OH=OE=OF，推出△EOH是等腰直角三角形，推出EH=$\sqrt{2}$OE，在Rt△AEH中，根据AE²+AH²=EH²，推出AE²+CF²=2OE²，故④正确．

解答 解：如图延长FO交AD于H，连接EH．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，OA=OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，AC⊥BD，
∴∠EOF=∠BOC=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
在△EOB和△FOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOB=∠FOC}\\{OB=OC}\\{∠OBE=∠OCF}\end{array}\right.$，
∴△EOB≌△FOC，
∴BE=CF，OE=OF，
∵AB=BC，
∴AE=BF，
∴BE+BF=BF+CF=BC=AD，故①②③正确，
在△AOH和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAH=∠OCF}\\{∠AOH=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOH≌△COF，
∴AH=CF，OH=OE=OF，
∴△EOH是等腰直角三角形，
∴EH=$\sqrt{2}$OE，
在Rt△AEH中，
AE²+AH²=EH²，
∴AE²+CF²=2OE²，故④正确．
故答案为①②③④．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．