Question

已知直线与x轴y轴分别交于点A和点B，点B的坐标为（0，6）
（1）求的m值和点A的坐标；
（2）在矩形OACB中，某动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线B-C-A运动．运动至点A停止．直线PD⊥AB于点D，与x轴交于点E．设在矩形OACB中直线PD未扫过的面积为S，运动时间为t．
①求s与t的函数关系式；
②⊙Q是△OAB的内切圆，问：t为何值时，PE与⊙Q相交的弦长为2.4？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接将（0，6）代入求出即可，进而得出图象与x轴交点坐标；
（2）①利用当PE正好经过点O时，求出BM=•OB=×6=，进而利用当0＜t≤时，当＜t≤8时，当8＜t≤14时分别得出即可；
②首先求出⊙Q的半径为r，进而根据当PE在圆心Q的两侧时，分别求出即可．
解答：解：（1）把（0，6）代入
得：m=6，
则函数的解析式是：y=-x+6，
令y=0，则-x+6=0，
解得：x=8．
则A的坐标是（8，0）；

（2）①如图1，当PE正好经过点O时，
∵AB⊥MO，
∴∠OBD+∠BOM=90°，
∵∠OBD+∠MBD=90°，
∴∠MBD=∠BOM，
∵∠MBD=∠BAO，
∠OBM=∠BOA，
∴△MBO∽△BOA，
∴=，
则BM=•OB=×6=，
四边形OACB的面积是：6×8=48，
当0＜t≤时，BP=t，则BE=t=t，
则s=S_{四边形OACB}-S_△BPE=48-t•t=48-t²；
当＜t≤8时，BP=t，PC=8-t，
OE=t-，
∴AE=8-OE=8-（t-）=-t，
则s=[（8-t）+（-t）]•6=-t；
当8＜t≤14时，AP=14-t，PE=（14-t），
s=×（14-t）²=（14-t）²；

②⊙Q是△OAB的内切圆，可设⊙Q的半径为r，
∴S△OAB=（6+8+10）r=×6×8，
解得r=2，
设⊙Q与OB、AB、OA分别切于点F、G、H，
可知，OF=2，
∴BF=BG=OB-OF=6-2=4，
如图2，设直线PD与⊙Q交于点I、J，过Q作QM⊥IJ于点M，连接IQ、QG，
∵QI=2，IM=IJ=1.2，
∴QM==1.6，
∴在矩形GQMD中，GD=QM=1.6，
∴BD=BG+GD=4+1.6=5.6，
由cos∠CBA==，
得BP=BD=7，
∴t=7，
当PE在圆心Q的另一侧时，P′E′∥PE，
∵直线y=-x+6与P′E′垂直，
∴=，
∵BF=4，
∴BP′=3，则t=3，
综上，t为7或3秒时，PE与⊙Q相交的弦长为2.4．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式和相似三角形的判定与性质以及多边形面积求法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．