Question

已知抛物线y=x²-（a+b）x+

c2

4

，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点为P、Q，顶点为R，∠PQR=α，已知tanα=

5

，△ABC的周长为10，求抛物线的解析式；
（3）设直线y=ax-bc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，若抛物线的对称轴为x=a，O为坐标原点，S_△MOE：S_△MOF=5：1，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由a+b＞c得（a+b）²-c²＞0，进而得该二次函数有两个不同的根．即该二次函数与x轴有两个交点．
（2）利用周长的和为10，顶点的纵坐标比上抛物线与x轴的右边交点横坐标与顶点横坐标的差的值为正切值；解方程组求出（a+b）的值和c的值；代入解析式即可．
（3）求得a，b，c长度之间的关系，知道a=b=3，即可得三角形ABC为等腰三角形．

解答：解：（ 1）由二次函数的判别式△=（a+b）²-4×

c2

4

=（a+b）²-c²
∵在三角形中a，b，c为三角形三边
∴a+b＞c
∴（a+b）²-c²＞0
∴该二次函数有两个不同的根．即该二次函数与x轴有两个交点．
（2）由题意a+b+c=10①
二次函数的顶点（

a+b

2

，

c2- (a+b)2

4

）②
二次函数的根为x=

a+b±  (a+b)2-4c2

2

③
由题意得：

c2-(a+b)2 4

a+b+ (a+b)2-c2 2 - a+b 2

=

5

④
由以上①②③④解得c=4，c=5（不符舍去）
则a+b=6
所以二次函数式为：y=x²-6x+4．
（3）由题意x=a=

a+b

2

=3
∴b=3
∴y=3x-12
∴三角形为等腰三角形．

点评：本题考查了二次函数的综合计算，（1）利用三边关系，来求得判别式大于0而得．（2）利用周长的和为10，顶点的纵坐标比上抛物线与x轴的右边交点横坐标与顶点横坐标的差的值为正切值；解方程组求出（a+b）的值和c的值；代入解析式即可． （3）求得a=b=3，即求得三角形ABC为等腰三角形．