Question

14．如图，△ABO是正三角形，CD∥AB，把△ABO绕△OCD的内心P旋转180°得到△EFG
（1）在图中画出点P和△EFG，保留画图痕迹，简要说明理由
（2）若AO=3$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{3}$，求A点运动到E点路径的长．

Answer 1

分析 （1）画出△ABC的中线的交点即为点P再把△ABO绕△OCD的内心P旋转180°得到△EFG即可．
（2）想办法求出AP的长即可利用圆周长公式解决问题．

解答 解：（1）点P和△EFG如图所示．


（2）延长OP交CD于G，交AB于H，
∵OA=3$\sqrt{3}$，CD=2$\sqrt{3}$，
∴OP=2，OH=$\frac{9}{2}$，
∴PH=OH-OP=$\frac{5}{2}$，AH=HB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AP=$\sqrt{P{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴A点运动到E点路径的长=$\frac{1}{2}$•2π•$\sqrt{13}$=$\sqrt{13}$π．

点评 本题考查作图-基本作图、等边三角形的性质、三角形的内心、轨迹等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住圆的周长公式，属于中考常考题型．